这是一份最科学的抛硬币教程。
我们常会反复纠结某个问题而难以迅速作出决定，比如，今晚吃炸酱面还是麦当劳；又比如，要不要接受某个工作机会；或者是今晚要不要去跟 TA 表白……
这时，很多人会抛个硬币，用硬币的正反面替自己做出选择。甚至在一些重大场合，人们也常用抛硬币来做重要决定，比如世界杯球赛中，裁判员会通过抛硬币决定哪只队伍先开球。
初中数学课本告诉我们，抛一枚质地均匀的硬币，得到正反面的概率相等。因此，人们认为硬币替自己做出的选择一定是公正的，没有私心的。不少数学家也做过实验证明，当抛硬币次数足够多时，得到正反面的频次接近 1:1，包括曾抛了 2 万多次硬币的数理统计学创始者卡尔·皮尔逊（Karl Pearson）。
但如果我现在告诉你，抛硬币得到两面向上的概率其实不相等，你又怎么看？
两面概率不相等
最近，一群无聊的科学家聚在一起，用 46 种不同的硬币抛了 350757 次，总耗时约 20 个小时。然后他们发现，抛出的硬币落下后，向上的那一面和硬币抛出前的初始面相同的概率略高，约为 51%。
他们就这样抛了 20 个小时的硬币。来源：Coin Tossing Team via YouTube
也就是说，假如你将硬币抛离手中时，它是正面向上，那最终硬币落下时，其正面向上的概率更高，反之亦然。
他们还发现，一些人抛硬币得到和起始面相同的那一面的概率更高；而另一些人则更接近理论值，即得到两面的概率都是 50%。他们将这项研究发表了在预印本网站 arXiv 上，还未经同行评审。
很显然，这说明，特定的抛硬币方式，或许可以让特定面向上的概率更高。
那么，有没有可能通过练习，让抛出去的硬币落下时，永远是自己想要的那一面向上呢？
理论上是可以的。
数学家佩尔西·戴康尼斯（Persi Diaconis）在成为美国斯坦福大学的数学和统计学教授之前，曾做过魔术师。他经常研究与“赌博”相关的数学，比如如何洗牌、如何掷骰子，当然也包括如何抛硬币。
热衷于纸牌、骰子、轮盘等的斯坦福数学家佩尔西·戴康尼斯。图片来源：Stanford University
早在 2007 年，戴康尼斯和他的团队就在论文中展示了一个抛硬币装置，这个装置将硬币抛出后落到指定位置，最终硬币向上的那一面在 100%的情况下都与它的起始面相同。
戴康尼斯和同事做出的抛硬币装置，抛出的硬币能100%得到与起始面相同的那一面。Diaconis et al, 2007
而人类在用手抛硬币时，也可以达到这样的效果，比如一些魔术师就可以通过一些技巧控制抛硬币的结果。
魔术师能控制抛硬币的结果。来源：SCAM NATION via youtube
其实如果掌握了原理，多加练习，你也可以做到。所以我们就先来学习一下原理，然后大家回家自己练习。
首先我们需要知道，标准情况下，抛向空中的硬币是怎样运动的。
忽略空气阻力的影响，当我们将硬币抛向空中，硬币会沿着一个位于硬币平面且平行于地面的“轴”，做翻转运动。学过物理的朋友们可以很快反应过来，这个“轴”正好是硬币旋转的角动量（angular momentum）所在的直线。
来源：Numberphile via YouTube
来源：Numberphile via YouTube，制图：冬鸢
然后我们用一点简单的中学物理来分析一下硬币的运动。
假设硬币以初速度vz 从距地面高度z0的手中被抛出，t 秒后落回到手上，那么通过 z0 + tvz ? (g/2)(t)2 = z0 可以计算出 t = vz/(g/2)。
假设硬币在空中每秒翻转 ω 次。在抛出硬币到硬币回到手上的过程中，如果硬币翻转了偶数次（即 2j < ωvz/(g/2) < 2j+1，其中 j 为整数），那么硬币最终向上的一面与初始面相同；如果翻转了奇数次（即 2j+1 < ωvz/(g/2) < 2j+2，其中 j 为整数），则与初始面相反。
来源：wikiHow via YouTube
所以只要你能精确控制硬币的初速度、高度和翻转速度，就能精确控制抛硬币的结果（虽然可能有点强人所难）。
如果我们在硬币翻转了整数次时，做出转速ω关于时间t的图像，可以得到很多条双曲线，如下图所示：
图片来源：Diaconis et al, 2007
假如硬币初始面为正面，而翻转速度和时间（ω,t）落在图中的阴影里，最终正面向上；若是转速和时间位于阴影之外的空白部分，结果则是反面朝上。
但是，此时阴影部分的面积和空白部分的面积是相等的，得到正面和反面的概率仍然是 1:1。如果要出现上文提到的偏差，又该如何操作呢？
运动
以上分析是基于标准情况，抛出的硬币沿着平行与地面的“轴”翻转，也就是硬币旋转的角动量矢量平行于地面。
但戴康尼斯指出，这只是一种特殊情况。实际上，很多人抛出的硬币在空中旋转时，角动量是与地面不平行的。
仔细观察可以发现这枚硬币在空中并不是绕着平行与地面的“轴”翻转的。来源：Sound/Video Impressions via youtube
我们可以用如下的模型来解释：
图片来源：Diaconis et al, 2007
假设硬币抛出时正面向上，则垂直于硬币平面的法线（ n ）与角动量（M）会存在一个夹角（ψ），当硬币转动的轴与地面不平行（即 ψ 不为 90°）时，硬币法线 n 就会绕着角动量 M 旋转，这也叫进动（precession）。
戴康尼斯正在解释硬币翻转中的进动。来源：Numberphile via YouTube
若硬币在抛出后的t时刻落回手上，当此时硬币法线 N(t) 与垂直地面方向的向量 K 的夹角余弦 τ(t) 大于 0 时，硬币正面向上；小于 0 时，反面向上（起始面为正面）而对于这个余弦 τ(t) ，我们可以用 τ(t)=cos2 ψ +sin2 ψcos(ωNt) 这个式子来计算，其中 ωN 为硬币法线绕角动量旋转的角速度。
如果我们将硬币的法线矢量N(t)在空中划过的区域看做一个球面，在这样的运动方式下，法线在上半球（正面向上）停留的时间是大于或等于在下半球（反面向上）停留的时间的。
图片来源：Diaconis et al, 2007
最终可以算出，如果硬币的起始面为正面，那么硬币落回手上时正面向上的概率与 ψ 的关系是：
用图像表示就是
图片来源：Diaconis et al, 2007
由此可以直观地看到，在硬币初始面为正面时，只有当 ψ 为直角，硬币落下时正面朝上的概率才是 1/2，其余情况下都大于 1/2。
而当 ψ 小于 45°时，硬币虽然也在旋转，但实际上整个过程中，并没有翻转到另一面。因此，在这种情况下，不论硬币抛得有多高，最终落下来时依然是和抛出时保持相同的一面向上——这便是抛硬币魔术师所使用的手法。
魔术师抛出的硬币在空中没有翻转至另一面。来源：SCAM NATION via YouTube
而当 ψ 为 0°时，硬币甚至可以没有竖直方向的翻转，完全直上直下。
来源：Numberphile via YouTube
事实上，这种运动方式在我们生活中非常常见，比较典型的，就是我们的地球。地球在自转的同时，赤道平面的法线也在绕一个轴转动：
看这地球的旋转像不像正在翻转的硬币？来源：Steven Sanders via youtube
总结一下就是，因为很多人抛出的硬币在空中翻转时存在进动，导致在给定硬币初始面的情况下，会使得最终硬币落回手上时，正反面向上的概率不相等。
不过，由于大多数人抛硬币的时候，不会关注硬币的起始面。因此，在起始面随机的前提下，抛硬币的最终结果，正反面概率仍然是 1:1（预印本论文中有证明过程）。
所以，以后如果和别人抛硬币打赌，你可以练一练上面教的抛硬币技巧来“作弊”；如果是别人抛硬币，那就让他不要用手接，让硬币直接掉地上，因为这会使硬币再弹起来，到空中再翻转几圈，使结果更加随机。
硬币掉在地上之后再弹起来。来源：Numberphile via YouTube
参考文献
[1]https://statweb.stanford.edu/~cgates/PERSI/papers/dyn_coin_07.pdf
[2]https://arxiv.org/abs/2310.04153
[3]http://gauss.stat.su.se/gu/sg/2012VT/penny.pdf
[4]https://en.wikipedia.org/wiki/Precession
[5]https://en.wikipedia.org/wiki/Angular_momentum
[6]https://en.wikipedia.org/wiki/Persi_Diaconis
[7]https://www.youtube.com/watch?v=AYnJv68T3MM
[8]https://www.youtube.com/watch?v=A-L7KOjyDrE
[9]https://www.youtube.com/watch?v=qlVgEoZDjok
[10]https://www.youtube.com/channel/UCZF_uxG9yEiuUkaFol16IBg
策划制作
来源丨环球科学
作者｜冬鸢
责编丨杨雅萍
