中国古代数学源远流长，成书于汉代的《九章算术》历来被称作“算经之首”，是其中最重要的一部数学著作。
正如已故中国科学院院士、著名数学家吴文俊先生（1919-2017）所言：“《九章算术》及其刘徽注，对数学发展在历史上的崇高地位，足可与古希腊欧几里得《几何原本》东西辉映，各具特色。”
那么，《九章算术》究竟有哪些数学成就，又为何在数学史上有如此高的地位，今天一起来看看。
算筹与准十进制位值制记数法
数字的表达是人类理解世界的重要方式。成书于汉代的《九章算术》总结了先秦以来的数学成就，其记载的最重要一项数学成就是算筹的准十进制位值制记数法。
所谓十进制（decimal system），就是从 1 开始记数，到 10 就换一个记数方式；所谓位值制（place-value system），就是同样一个数字放在不同位置，就具有不同的数量含义。
古埃及数学采用的是十进制记数法，但并非位值制（实是垒数制）；古巴比伦数学采用的位值制记数法，但其使用的是 60 进制。现代同行的印度-阿拉伯数字是十进制位置值，而从文献的记载来看，晚于中国算筹记数。因此，新加坡学者蓝丽蓉（Lam Lay Yong）甚至提出印度-阿拉伯数字乃起源于中国算筹的说法。
2016 年，中国科学院自然科学史研究所编《中国古代重要科技发明与创造》明确将这一成就列入其中。
算筹在中国行用长达约 2000 年，是在 16 世纪被算盘取代前中国人长久以来使用的数学工具，也是日本、朝鲜、越南、琉球等汉字文化圈国家长久使用的数学工具。
其材质一般用竹（也偶有象牙、骨、铅、银），汉代约长 12 厘米。近代以来多有算筹出土，1983 年 11 月在陕西省旬阳地区汉墓出土了 28 根象牙算筹。日本也藏有算筹。
在古语中“筭”与“算”不同。前者的意思是摆弄竹子，即算筹；后者是装算筹的器物，引申为计算。因此在古书中普遍写作“筭术”（即运用算筹的算法），例如《九章筭术》。
陕西旬阳出土算筹
日本东大寺所藏算筹
算筹记数分为纵横两式，其个、百、万等位上用纵式，其十、千、百万等位上用横式。
算筹记数分为纵横两式，其个、百、万等位上用纵式，其十、千、百万等位上用横式。如 12345，就摆放成
。由于其十位上的 1 和个位上的 1 摆放不同，故笔者称之为“准位值制”。这恰恰体现了算筹记数的特点和优势，由于遇 0 是作空位处理，故这一纵横不同可以最大限度凸显空位，如
表示 203，而不可能是 23（
）。《九章算术》卷八方程涉及到正负术，以算筹的颜色和摆放亦可区分正负。
以算法为中心《九章算术》中的术
《九章算术》分成九卷，包含 246 个数学问题。一直以来，学界有一种误解认为该书是一本应用问题集。其实，246 个问题对应的算法（即术）仅有约 100 个，经常出现多个问题对应一个算法的情况。因此，数学史家郭书春指出该书是采取“术文统率例题”的形式。
又有一种误解认为，该书是一本算法操作手册，运筹者无须理解其中的数学原理。对此，数学史家李继闵指出算法实施的过程中蕴含着算理（即“寓理于算”），故不懂数学原理实际无法计算。
吴文俊先生高屋建瓴地指出中国古代的算法具有构造性和机械化的特点。所谓构造性，与现代存在性数学相对应，指其算法往往给出求解路径，而机械化则就其筹算过程而言。法国学者林力娜（Karine Chemla）通过大量细致地文献分析，指出该书及其刘徽注的数学问题、图和棊等几何工具以及算筹的实施，实际都是展现算法的工具，从而有力地证明了以《九章算术》为代表的中国古代数学是以算法为中心的数学。
从世界数学史的角度看，除了古希腊数学以外的其他数学文明都具有算法倾向，丹麦数学史家休儒（Jens H?yrup）则进一步认为中国数学是所有文明中最重视算法的。学界以往多认为《九章算术》具有实用性和社会性的特点，其实这一特点其他数学文明也均具备，唯有对算法的高度重视是中国古代数学独特的，就此而言《九章算术》可视作一本理论数学著作。
《九章算术》卷一方田给出了筹算分数的计算法则和各种田面积的计算公式，其中有圆面积公式“半周乘半径得积步”（即 
），这一公式巧妙地回避了圆周率，故是完全准确的。卷二粟米给出了各种谷物的换算，其中提出“今有术”，即已知三个数求成比率的第四个数，这一算法在西方被称作“三率法”。
卷三衰分是讲各种物品的比例分配问题。
卷四少广涉及到对土地的丈量和划分，其中给出了用算筹开平方和开立方算法，这一方法在宋代发展成普遍地求任意一元高次方程数值解的算法，与现代数学中的牛顿法类似。
卷五商功是工程问题，涉及各种几何体的体积计算问题，其中提出三种基本几何体（即立方、堑堵和阳马）以作为求解任意几何体体积的基础。所谓立方，就是正立方体；所谓堑堵，就是底面为等边直角三角形的三棱锥，两堑堵合成一立方；所谓阳马，就是底面为正方形，一棱与底垂直的四棱锥，三阳马合成一立方。
卷六均输是关于税收的比例分配问题。
卷七盈不足是通过两次假设求解问题的算法，该算法在西方被称作“双假设法”。又由于该法可以把任何问题都理解成线性问题，进而求出解答，故也称为万能算法。
卷八方程是求解多元一次线性方程组的完整算法，其中给出了涉及该问题时必须用到的正负术法则。例如第一问：
今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问：上、中、下禾实一秉各几何。荅曰：上禾一秉九斗四分斗之一，中禾一秉四斗四分斗之一，下禾一秉二斗四分斗之三。
按术列出如下方程，其求解过程类似亦类似现代的矩阵方程解法。清末现代数学传入中国以后，李善兰借用古语“方程”翻译 equation，实际是改变了方程的原意。
卷九勾股是讲平面图形的面积计算问题，其中给出了勾股定理及其各种变化形式。
给出算法正确性的论证刘徽注《九章算术》
《九章算术》文本中只给出算法，而没有其正确性的证明，这一点在以往是被当作中国数学不如以《几何原本》为代表的古希腊数学的证据。现代数学史研究表明这一观点是完全站不住脚的。
其一，除了古希腊数学以外的数学文明，往往都只给出算法而没有证明。故吴文俊先生认为数学史是算法倾向与演绎倾向两大主题此消彼长形成的。
其二，文本中有没有证明实际是取决于文本的性质和所产生的语境，换言之文本中没有证明不代表数学实践中也没有证明。
其三，林力娜等学者认为不应以古希腊的数学证明作为证明的唯一形态，在其他文明中也有不同形态的证明。第二第三点恰巧从刘徽注中可以获得验证。
魏景元四年（ 263 ），刘徽注解了《九章算术》，对大部分术文都给出其算法正确性的论证。尤其是，在卷一对圆面积公式的证明、卷四对球体积公式的注解、卷五对阳马体积的证明中用到极限逼近的推理方法，展现了极高的逻辑推理能力。在卷四求解球体积公式的过程中，刘徽发明出牟合方盖，但却无法求出其体积，故“以俟能言者”。这一问题最终被祖冲之父子解决。刘徽对几何问题的证明需用到图（平面问题）和棊（立体问题），其推理原理被吴文俊总结为“出入相补原理”。
《九章算术》的影响与历史地位
《九章算术》在唐宋均作为国子监算学馆的教科书。刘徽之后，唐李淳风、北宋贾宪、刘益、蒋周、南宋秦九韶、杨辉、金李冶、元朱世杰等均沿着《九章算术》的路线发展中国古代数学，并使其在宋元时代达到一个高峰。明清时期，中国数学发展的主流改变，但《九章算术》的整体框架并未改变。日本数学则在中国宋元数学的基础上发展出和算，在 19 世纪时可以处理面积求和等微积分初等问题。
自李俨（1892-1963）、钱宝琮（1892-1974）先生开创中国数学史研究以来，《九章算术》及其后世的注解就作为中国数学成就的标志性著作，但他们主要关注其中与现代数学可以相通之处。其实，《九章算术》中那些独特算法同样是中国数学的伟大成就。两者共同说明了中国数学历史道路的独特性和其历史经验的有效性。
吴文俊先生把中国古代数学的算法理解成计算机的软件、把算筹、算盘等工具理解成计算机的硬件，从而创造性地提出数学机械化的构想，这是中国古代数学“古为今用”的典范案例。
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作者丨朱一文 科学技术史博士，中山大学哲学系教授、博士生导师，逻辑与认知研究所专职研究员
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